QUOD ERAT, l’Enciclopedia

18 settembre 202028 Maggio 2024 / NaumSalis / 1 Commento

Quod Erat è una Enciclopedia della Dimostrazione. In essa sono raccolte gran parte di Definizioni e Teoremi che si incontrano in un classico corso di Laurea in Matematica ordinati secondo discipline e sotto-aree argomentate.
Qui in alto (in verde) trovi il link ad una serie di pagine selezionate.

COSA CONTIENE?
Risultati del tipo:
– Teoremi Fondamentali dell’Algebra, del Calcolo Integrale, dei Grafi, dell’Aritmetica e del Numerabile;
– Legge dei Grandi Numeri e della Reciprocità Quadratica;
– Formule di Gauss-Green, di Bayes, di Faulhaber e di De Moivre;
– Identità del Parallelogramma, di Eulero e di Bézout;
– Equazioni di Cauchy-Riemann, diofantee e alle derivate parziali;
e moltissimi altri ancora, tutti rigorosamente dimostrati.
Il volume è provvisto di un Indice Analitico molto vasto nel quale sono riportate tutte le notazioni utilizzate e le principali voci del Glossario Matematico.
A fine volume è posto un Dizionario Biografico nel quale sono raccolti tutti i nomi dei protagonisti menzionati, ognuno accompagnato da breve biografia e coordinate anagrafiche.

A CHI È RIVOLTO?
Il volume è adatto a chiunque voglia approcciarsi alla Matematica. Contiene risultati della Matematica scolastica delle superiori, materiale dei corsi universitari e diversi risultati che generalmente non vengono trattati durante le lezioni (come la Formula di Faulhaber, il Teorema di Teeteto e le successioni di Fibonacci).
Non c’è, dunque, un limite (superiore) di età come non ci sono particolari conoscenze pregresse da possedere per affrontare molte parti del libro.

DOVE POSSO CHIEDERE ULTERIORI INFORMAZIONI?
Alla pagina facebook https://www.facebook.com/Quod.Erat.Enciclopedia contattando direttamente l’autore tramite chat

Tratto dalla sezione dedicata all’Algebra Lineare

DOVE È POSSIBILE ACQUISTARLO? E QUANTO COSTA?
ATTUALMENTE NON DISPONIBILE

INFORMAZIONI TECNICHE
Autore: Naum E. Salis
Editore: Self Publishing
Anno: 2020
Pagine: 1070
Rilegatura: Brossura
Formato: A5
Copertina: Morbida in tessuto cartonato
Volumi: I e II

PERCHÈ IL TERRAPIATTISMO

15 Maggio 201915 Maggio 2019 / NaumSalis / 2 commenti

PERCHÉ IL TERRAPIATTISMO

In questo breve articolo tentereamo di analizzare la causa della nascita di movimenti culturali che riteniamo medievali. Il Terrapiattismo nasce inizialmente come “risposta semplice”, per non dire ancestrale, al problema di modellizzare la dinamica astronomica osservabile e idearne una possibile struttura cosmologica. Il complottismo, per quanto riportato dalla Treccani, è un movimento i cui componenti ritengono che dietro molti accadimenti si nascondano cospirazioni, trame e complotti occulti. Il Terrapiattismo non è una semplice corrente complottista poiché le sue tesi contrastano in forma altamente aggressiva un background di verità scientifiche conquistate dall’uomo in secoli di storia.

SEMPLICITÀ

Rispondere a problemi complessi in modo semplice non costituisce una questione puramente attuale. Ne è un esempio il Timeo in cui Platone, congetturando sull’origine del Demiurgo, trova nei quattro elementi (acqua, aria, terra e fuoco) la chiave di volta circa la morfogenesi dell’Universo. Il trattato è una composizione di immaginazione e creatività che offre una visione poetica e armoniosa dei più misteriosi segreti della Natura. Contemporaneamente al filosofo greco, Democrito e Leucippo ipotizzarono l’esistenza delle molecole e degli atomi per confutare le idee di Zenone di Elea circa i paradossi derivanti dall’indivisibilità infinita del tempo e dello spazio. La loro teoria atomica si rivelò, successivamente nel tardo settecento, quella realmente osservabile e tutt’oggi l’unica sperimentalmente verificabile, fulcro delle attuali scienze.

La teoria platonica però, oltre la straordinaria bellezza artistica, ha il pregio di essere comprensibile ed accessibile a tutti poiché non presuppone alcuna conoscenza preliminare al contrario della teoria democrita, sviluppata poi scientificamente. Questi due approcci, nonostante le sostanziali differenze, condividono lo stesso fine ossia spiegare un determinato fenomeno, cioè, in parole semplici, ricavare quali fattori ne siano la causa. Il processo induttivo creato da Galilei nel ‘600 è lento, necessita di osservazioni precise, congetture, verifiche sperimentali al termine delle quali solo il confronto reale coi processi naturali può provvisoriamente confermare la legge intuita. Platone non verifica ma immagina eppure entrambe riescono nell’intento iniziale, in maniera più o meno efficiente. Ma cos’è che determina il livello di efficienza di un metodo? Certamente la possibilità di verifica di un’idea è essenziale ma immergendoci nell’era eleatica entrambe le teorie sarebbero sperimentalmente equivalenti poiché non esisterebbe alcuno strumento (ottico, elettronico o meccanico) in grado di indagare a fondo sulla questione quanto i mezzi moderni; un indicatore essenziale, ma non sufficiente, è la mole di sotto-fenomeni che la teoria è in grado di spiegare, e l’unico modo per capire se tale dato è quantitativamente consistente è immergersi a fondo nelle questioni tecniche, ossia studiare. Tale fu il motivo per cui la teoria dei quattro elementi fu accantonata una volta che gli illuministi e gli alchimisti iniziarono ad esplorare il mondo della Chimica e della Fisica. Teniamo a mente tale dato e ragioniamo un momento sulla questione seguente: immaginiamo di tracciare il cammino delle teorie passanti per i vari traguardi che esse sono in grado di raggiungere (vedi figura)

PLAT.001 Nel Timeo, Platone arriva tramite intricati sillogismi a spiegare alcuni processi biologici e fisici tramite la sua teoria, il che sappiamo esserne in grado anche la teoria di Democrito. Quest’ultimo non aveva in mente cosa fosse un’ossidoriduzione ma gli studi successivi sulla materia trovarono le sue idee sufficienti a spiegarla, cosa che non potrebbe altresì fare la filosofia Platonica. Ancor più se il caso in questione fosse la radiazione del corpo nero di Plank. Come vediamo in figura, esiste dunque una soglia oltre la quale i quattro elementi non sono più in grado di avanzare, al contrario di quanto accade col tratto rosso. Naturalmente, maggiori sono i traguardi raggiunti maggiore è l’attendibilità di una teoria e più ci si addentra nei vari punti maggiore è la quantità di materiale che uno studente alle prime armi deve studiare. Se ci fermassimo, sempre in riferimento alla figura precedente, allo step FENOMENI FISICI, ossia se ci trovassimo in un contesto storico/culturale in cui gli studiosi non avessero ancora esibito un esempio per il quale solo una delle due si rivelerebbe efficace nel risolverlo, allora entrambe le teorie sarebbero equamente accettate e, probabilmente, quella di Platone sarebbe maggiormente considerata visti i precedenti pregi artistici. Tale stato di equivalenza è in realtà sito anche nella mente di chi ancora non è in grado di comprendere l’importanza, o addirittura ne ignora l’esistenza, delle questioni successive (cosa assai diffusa fra i terrapiattisti che, non a caso, non sono persone di scienza).

VELOCITÀ

Quelli di oggi sono giorni di esponenziale evoluzione tecnologica. Le velocità di inter-connessione sono in costante aumento, il ché non concede alla mente il tempo di ambientarsi alle brevi soste di attesa ma inculca in essa la necessità apparente di un repentino aumento delle prestazioni cognitive. Il risultato di tale andamento si ripercuote, diminuendola, sul livello di sopportazione e pazienza degli individui. Il mi sento fortunato di Google (funzione che rimanda direttamente al primo risultato elencato di una ricerca bypassando il filtro personale) ne è un esempio: le contrazioni dei tempi inducono a ricerche rapide ed esaustive, comprensibili e concise senza sbavature fuori tema. Non a caso, precedentemente, ho utilizzato l’aggettivo lento circa il metodo Galileiano. Le esposizioni plug and play sono sottoposte ad una severa manipolazione esemplificatrice, il ché spesso ne deforma completamente la struttura e ne decontestualizza il succo, e ad una pressa cronometrica che rende l’articolo adatto alle transitorie necessità del lettore. Semplicità e brevità scandiscono di pari passo le tempistiche moderne. Il Terrapiattismo, come il Timeo, è una teoria molto semplice, narrativa, in grado di spiegare alcuni fenomeni osservabili e che non richiede grandi sforzi cronologici. La Scienza, tutt’altro, esige tempi lunghi, costellate da notte insonni, esperimenti lenti e minuziosi, grandi periodi di tirocinio e anni di formazione.

DISTINZIONI

A questo punto occorre stabilire cosa sia la Scienza poiché è evidente che dallo step FENOMENI FISICI in poi il tratto rosso ne abbia ereditato il titolo mentre il tratto blu sia stata scartata a teoria accantonata. Riporto la definizione della Treccani:

Scienza: Insieme delle discipline fondate essenzialmente sull’osservazione, l’esperienza, il calcolo, o che hanno per oggetto la natura e gli esseri viventi, e che si avvalgono di linguaggi formalizzati

La Scienza è costituita da teorie, strutture edificate per descrivere i fenomeni naturali e per riuscire ad identificarne le cause. Quando una teoria si rivela inefficace si apportano modifiche o se ne costruisce un’altra, basata sullo stesso modus operandi. La struttura atomica della materia è una teoria, così come la relatività di Einstein o la meccanica quantistica. La Scienza è dunque identificabile dal metodo (detto Galileiano) che coniuga nel migliore dei modi la teoria all’empirica. La teoria di Platone non è una teoria scientifica poiché eretta su basi esclusivamente teoriche e largamente confutate o non verificabili (non accettiamo la teoria secondo la quale il cielo è blu perché un pittore lo dipinge in quanto nessuno ha mai osservato qualcuno dipingerlo). Un esempio lampante è la teoria di Einstein, la quale divenne a tutti gli effetti una teoria scientificamente affermata quando nel 1919 fu empiricamente provata nonostante fosse stata pubblicata tre anni prima. La Scienza, dunque, cerca costantemente di confutare le teorie che la costituiscono per avere la certezza che i modelli seguiti siano congruenti alle meccaniche naturali e per identificarne gli eventuali limiti (es. le Equazioni di Maxwell costituirono il limite per la Fisica Classica), il che ne evidenzia un aspetto dinamico celato dall’apparente staticità storica. Il processo di auto-confutazione, oltre ad essere del tutto singolare, è il modo che ha la Scienza per ricordarsi di essere umana, errare humanum, e rappresenta il motore che spinge gli scienziati a scavare nelle profondità della Natura. Lo stesso fenomeno, invece, non si registra all’interno dei complottismi e delle credenze di massa: il Terrapiattismo non indaga circa la sua consistenza e coerenza in relazione ai fenomeni osservati, non si interroga circa la logicità dei suoi esperimenti e non accetta obiezioni mosse da terzi.

Un terrapiattista, però, si domanda: perché mai, avendo appena ora evidenziato la natura umana e dunque fragile della Scienza, il metodo galileiano rappresenta la strada giusta? Secondo quale criterio la Scienza appartiene all’intoccabile mentre la Filosofia al discutibile? Questa domanda sfiora le questioni ontologiche ma una risposta laterale, e a mio avviso esaustiva, è data dalla Matematica, in particolare dalla Logica. La Teoria della Divisione Emisferica del Cervello è tanto risaputa quanto imbevuta nel mito, ma in parte fondata sul fatto che caratteristiche di tipo analitico o artistico sono scritte nel codice genetico degli esseri viventi, tanto negli umani quanto negli animali. Lungo tutta la linea storica dell’uomo abbiamo avuto continue testimonianze su quanto fosse misterioso il legame tra Natura e Matematica e quanto quest’ultima abbia da sempre costituito l’unico strumento con cui poter descrivere i fenomeni osservati e le idee formalizzate. Nel Saggiatore, Galileo scrive:

La filosofia [della natura] è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto dinanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscere i caratteri ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto

Non conosciamo dunque il motivo per cui sia proprio la Matematica lo strumento di cui disponiamo per capire la Natura e non è compito nostro indagare su tale faccenda ma su questo faremo leva per capire cosa intendiamo per giusto nella scelta tra Scienza e Filosofia quando parliamo e analizziamo i fenomeni osservabili. La Matematica si occupa di schemi assiomatici (vedi K. Deith, Dove va la Matematica): come in un gioco, una volta impostate le regole la Matematica studia tutte le possibili mosse, i possibili scenari, le strategie. Cambiando le regole si genera un nuovo gioco e dunque un nuovo schema da studiare. Ma il verbo studiare, in Matematica, ha sostanzialmente un’unica interpretazione: dedurre. La deduzione è il cardine della Logica e ciò che la rende realmente fondamentale è ciò che la giustifica, ossia una dimostrazione. Una deduzione dimostrata in modo da non poter più sollevare il minimo dubbio a riguardo è detta teorema. Colloquialmente parlando, la Matematica è l’irritabile bambino che ad ogni affermazione chiede costantemente perché? finché la verità non gli appare chiara e semplice. L’insieme concatenato delle risposte è la dimostrazione. Quindi notiamo che Scienza e Matematica (e dunque la Logica) condividono lo stesso spirito auto-critico (il continuo interrogarsi sulla validità delle proprie affermazioni) solo che mentre nella seconda si arriverà ad un fermo logico in cui la dimostrazione termina e il teorema assume la sua essenza di assolutezza, nella Scienza tale processo è pressoché interminabile poiché gli schemi sono approssimazioni (molto precise) dovute all’immensa vastità delle variabili in gioco. Anche in Filosofia si procede per deduzione ma l’inferenza utilizzata (la regola che da un’ipotesi è in grado di estrapolare una tesi) è debole e spesso non univoca. Questo meccanismo insito nell’uomo, rappresentato dalla sua Logica, indotto nella Matematica e riprodotto sull’osservabile tramite la Scienza potrebbe, a mio avviso, rispondere alla domanda su quale sia la strada giusta per quel che riguarda la deduzione circa i fenomeni naturali. Vorrei precisare che i terrapiattisti non fanno Filosofia ma che la loro teoria è completamente priva di metacognizione.

FEDE

Ciò di cui abbiamo fin ora parlato potrebbe risultare marginale rispetto la questione posta inizialmente, ossia perché nel ventunesimo secolo esiste il Terrapiattismo, ma quel che si evince dalla disquisizione si biforca in due rami indipendenti e connessi: senso critico e fede. Del senso critico abbiamo approfondito una parte fondamentale, quella dell’auto-confutazione, mentre abbiamo solo accarezzato la parte sulla fiducia. Fiducia in chi o in cosa? Il Terrapiattismo è caratterizzato dalla totale mancanza di fiducia nei confronti della Scienza, e conseguentemente verso gli scienziati. È chiaro che il profondo sconforto istituzionale, mosso da speculazioni politiche nonché dalle continue missive di natura fraudolenta da parte della pubblica amministrazione, abbia messo a dura prova la fede delle persone, prova che in molti casi ha letteralmente deframmentato le fondamenta dottrinali degli individui. In una società dove la maggioranza delle notizie in circolazione si concentra sull’abusivismo pubblico è prevedibile che, con una certa facilità, possano nascere movimenti sovversivi anche sul piano culturale e il Terrapiattismo ne è una emblematica rappresentazione (non a caso questi sono gli anni del boom complottistico). Nelle scuole molto raramente negli alunni si stimola la capacità di valutazione anche nei confronti del docente, piuttosto li si istruiscono a realtà già costruite e stampate sui libri. In tal modo si induce nell’alunno un senso forzato di fiducia verso la cultura esistente, come succede ai bambini di famiglia cattolica quando da piccoli li si obbliga a frequentare le catechesi pomeridiane. Ma laddove questo accadesse immagino una conversazione in stile Platone

– e se fosse lo Stato a boicottare il mio senso critico affinché esso stesso possa in primis approfittarne?
– però se tali opere dannose fossero commissionate dallo Stato allora quest’ultimo censurerebbe ogni canale di informazione cosicché questa conversazione non potrebbe aver luogo
– ma è risaputo che una verità detta per scherzo passa per bugia. Allo Stato non interessa che tali si propaghino in lungo e in largo visto che preventivamente si è assicurato un popolo inerme

PLAT.002

L’innumerevole mole di mezzi per la conoscenza, oggi a totale e gratuita disposizione degli utenti, aiuta questi ultimi a prendere atto circa la sterminata produzione culturale dell’uomo ma l’immensa sfiducia originatasi impunemente genera disorientamento, sconforto, impotenza, senso di ignoranza. L’attività seguente dovrebbe, nel migliore dei casi, essere lo studio, l’informazione e la ricerca ma in una mente eversiva l’anticonformismo non reputa più attendibile il materiale disponibile, poiché deviato dalle pratiche di boicottaggio di massa da parte del Paese e ciò lo spinge alla riflessione autonoma e alla produzione di materiale rivoluzionario (ricordiamo il De Revolutionibus Orbium Coelestium di Copernico). Quando, però, tale materiale è prodotto da amatori poco inclini al metodo ecco che le teorie formulate risultano platoniche (per usare un eufemismo), limitate all’evidenza dei fatti e avverse alla spiegazione dei sotto-fenomeni.
Nel momento in cui non è più possibile lasciare scoperte tali ferite, all’interno della Teoria insorgono sotto-teorie adattate alle singole necessità e magari completamente sconnesse dal tema centrale. Prendiamo per esempio la Legge di Gravitazione Universale di Newton: essa da sé è in grado di fornire spiegazioni sul perché la terra sia approssimativamente sferica, perché avvengono determinati fenomeni atmosferici, perché i corpi celesti si muovano secondo una specifica traiettoria e addirittura secondo quale criterio si stila il calendario. La Teoria della Terra Piatta non risponde a queste domande e quando ci prova utilizza altre teorie: il fatto che la terra sia piatta non giustifica, secondo le tesi sostenute, l’assenza di gravità né tantomeno l’assenza di gravità giustifica la piattitudine del nostro pianeta, il ché ne evidenzia la mutua indipendenza e il fatto che esse collaborino inspiegabilmente per costruire il Terrapiattismo. Quindi, mentre nel primo caso abbiamo un’idea centrale, osservata e misurata, in grado di decifrare da sola la stragrande maggioranza dei meccanismi macrofisici, il Terrapiattismo risulta un potpourri calderonico di postulati indipendenti che aleatoriamente cooperano alla spiegazione dei fenomeni dell’Universo (il ché non la rende di fatto una Teoria nel senso classico del termine).
Possiamo ricondurre la causa di tale tendenza all’azione di introiettare in sé il verso della fiducia (che generalmente punta all’esterno), la quale, oltre che essere insidioso per i motivi appena descritti, può rivelarsi dannoso anche per la persona che opera tale iniziativa. Nel suo Il Trionfo della Stupidità del 1935, Bertrand Russell scriveva

The fundamental cause of the trouble is that in the modern world
the stupid are cocksure while the intelligent are full of doubt[1]

Tale è l’espressione letteraria di un effetto psicologico molto diffuso e noto come Dunning-Kruger effect secondo cui individui poco esperti in un campo tendono a sopravvalutare le proprie abilità autovalutandosi, a torto, esperti in quel campo[2]. Illuminante può risultare la curva di Dunning-Kruger[3] :

dk-effect

nella figura qui proposta è stato posto sull’asse orizzontale l’esperienza intellettuale su un determinato argomento e sull’asse verticale il livello di confidenza percepita sullo stesso. Secondo gli studi, un andamento riscontrato molto frequentemente è quello descritto dalla curva rossa, ossia i soggetti che si affacciano ad un argomento nuovo (motivo per cui la loro esperienza è considerata bassa) tendono dopo poco ad avvertire un’immotivata sicurezza circa la familiarità con le tematiche studiate. Man mano che la dimestichezza aumenta la curva tende ad allontanarsi dal picco iniziale per poi riacquisire valori alti solo quando si è a tutti gli effetti definibili esperti della materia. Tale improvvisa vetta iniziale è per molti causa di abbandono vanaglorioso dello studio poiché la sensazione captata è simile a quella avvertita da un vero esperto, motivo che spinge i più sensibili a

ritenere superflua, o già assimilata, ogni altra informazione aggiuntiva. Non a caso, parafrasando Platone nell’Apologia di Socrate al capitolo VI, sapiente è colui che sa di non sapere.

DEFICIT

La questione successiva che immediatamente si solleva è: cosa impedisce, ai soggetti suscettibili, di capire che gli studi affrontati non sono sufficienti per dichiararsi esperti? Dalle mie riflessioni sono spuntate due risposte in apparente contraddizione: l’esistenza di verità indimostrabili e il retaggio socio/culturale scolastico. Nel 1999, i fratelli (ora sorelle) Wachowski scrissero e diressero un film diventato cult: Matrix. Esso descrive una realtà distopica in cui un’intelligenza artificiale ha prevalso sull’essere umano riducendolo a fonte energetica per il proprio sostentamento. Per evitare ogni possibile atto sovversivo, le macchine hanno costruito una realtà virtuale in cui gli uomini, immersi inconsapevolmente, vivono l’illusione di una vita normale alla quale noi tutti siamo abituati. Molti terrapiattisti si aggrappano al fatto che tale condizione non sia semplicemente frutto della fantasia dei registi americani ma la descrizione fedele del mondo in cui viviamo. Purtroppo, su questo punto, sembra decadere ogni tipo di confutazione logica o sperimentale (checché ne dica Cartesio secondo cui cogito ergo sum[4]), ma erroneamente si confonde la causa con l’effetto: anche se vivessimo addormentati su un pianeta piatto, l’evidenza delle prove scientifiche mostra che il mondo virtuale da noi percepito è sferico e ciò non entra in contraddizione con le ipotesi futuristiche, dunque preoccuparsi di ciò con cui mai potremmo venire in contatto, a meno che un magnanimo Morpheus non si materializzi all’improvviso, è del tutto superfluo (applicazione classica del rasoio di Ockham). Altre fantasticherie vengono man mano aggiunte, in linea con l’impalcatura argomentativa precedentemente esposta, ma direi che a questo punto è del tutto ininfluente discuterne, anche perché dubito che tale obiezione venga accolta di buon grado. Del retaggio culturale, invece, c’è di ché disquisire. Ciò che realmente porta a capire quale sia il limite quantitativo circa il bagaglio culturale oltre il quale è lecito considerarsi esperti è la capacità individuale di riconoscere quale sia stata la qualità dello studio compiuto. Tale caratteristica è frutto dell’esperienza di apprendimento accumulata e siffatta esperienza è a sua volta considerevolmente influenzata dalle modalità con le quali si è stati istruiti ad apprendere. Una mente deviata dai complottismi troverebbe qui terreno fertile per i suoi balocchi poiché di certo affermerebbe che tale istruzione è boicottata dai poteri forti di cui, quasi sempre, non si conosce nulla nel concreto (generalmente viene fuori il nome Soros). La scuola, il contesto familiare e il panorama socio/culturale, dunque, sono fondamentali e partecipano attivamente alla formazione e maturazione della sfera cognitiva dei suoi pupilli. Ognuna di esse rappresenta un’istituzione nel contesto dell’apprendimento ed una singola carenza può dar luogo ad irregolarità nello sviluppo pedagogico. La scuola, più degli altri, fornisce (o meglio, dovrebbe) ai suoi alunni gli strumenti essenziali per l’attività di ricerca, tra i quali, appunto, una solida esperienza ed un saldo bagaglio di abilità volte allo studio teorico ed empirico. Avere carenze su questo piano implica non possedere i mezzi adatti a riconoscere la qualità del proprio lavoro, quindi non poter gestire con criticità il proprio senso di autovalutazione il quale può dar luogo, in contesti di gratificazione, ad una falsificazione circa la percezione del livello delle proprie capacità professionali e, dunque, all’effetto Dunning-Kruger precedentemente descritto. Il problema è qui ora chiaro: il deficit del metodo di apprendimento determina inconsapevolezza circa il deficit stesso, in parole semplici chi ne è affetto non lo sa.

CONTROTENDENZA

Essere Terrapiattisti non è cosa facile, vista l’alta opposizione riscontrata. Ma quanto è semplice non esserlo? Un Terrasferista è generalmente una persona immersa nel ruolo del gregario combattente, ossia intenta nella difesa di una determinata posizione pur tuttavia non avendone la minima capacità argomentativa. A meno di possedere una forte inclinazione fisico/matematica, non si ha la capacità di dimostrare esplicitamente la sfericità del nostro pianeta. Nonostante le prime dimostrazioni teoriche risalgono ad Eratostene di Cirene (200 a.C. circa), solo nel 1855, ad opera di Jean Bérnard Foucault, abbiamo avuto le prime testimonianze empiriche circa la rotazione del globo su sé stesso (questo per sottolineare l’enorme difficoltà di tale impresa). Biasimare impunemente le posizioni terrapiattiste è sintomo dello stesso male che affligge quest’ultime, poiché significherebbe rimettere completamente il proprio giudizio nelle mani degli scienziati, nonostante la custodia di critica non sia loro dovere. Chi difende la terra sferica per il solo modo di riflettere ciò che gli è stato insegnato ha soltanto avuto la fortuna di simpatizzare per la squadra giusta! Non esiste una ricetta di convincimento né questo dovrebbe giustificare azioni invettive contro chi sostiene posizioni controtendenza. Probabilmente sembra un’argomentazione moralista ma il focus è sul limite comune di due sfere apparentemente lontane che spinge a comportamenti affini ma opposti.

EPILOGO

Il Terrapiattismo è un evidente sintomo del fallimento dell’istituzione scolastica, la quale si è progressivamente ridotta ad impiantista di cultura nozionistica, causa del crescente aumento del tasso di analfabetismo funzionale e confusione collettiva sui temi attuali e sulle reali esigenze della comunità. Non sappiamo come porvi rimedio, ma sappiamo come arrestare l’ondata di incompetenza a cui abbiamo permesso di diffondersi in modo incontrollato.

Naum Salis

[1] La causa principale dei problemi [odierni] è che nel mondo moderno gli stupidi sono sicuri di sé stessi mentre le persone intelligenti sono piene di dubbi

[2] fonte Wikipedia.it

[3] fonte https://catalogofbias.org

[4] vedi Discorso sul Metodo

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17 novembre 201718 novembre 2017 / NaumSalis / Lascia un commento

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L’Intellettualoide: Digitale o Analogico?

29 agosto 201729 agosto 2017 / NaumSalis / Lascia un commento

Definizione. Un Intellettualoide è una persona che trasforma ciclicamente una qualsivoglia situazione in un one-man show incentrato sulle proprie pseudo-capacità intellettuali, spesso mal acquisite. Un intellettualoide è detto digitale se le sue prestazioni tendono ad avere un carattere teorico, analogico se di stampo pratico.

Un intellettualoide si dedica a moltissime attività, la maggior parte delle quali non di sua competenza. Di seguito elenco alcuni frequenti comportamenti caratteristici:

Ogni conversazione viene irreversibilmente mutata in una lectio magistralis in cui gli interlocutori tendono ad annuire in silenzio alle tonnellate di inutili informazioni fornite dal relatore. Nel corso della conferenza, non sono sufficienti gli innumerevoli sbadigli e le continue occhiate ad oggetti estranei a far si che il bombardamento di maroni venga arrestato. Spesso le vittime cadono preda di vocazioni mistiche e spirituali nella speranza che il soprannaturale intervenga contro lo stillicidio
L’intellettualoide si pone allo stesso livello professionale di coloro che hanno scelto di trasformare in lavoro i suoi stessi interessi e questo dà lui modo di ribattere con inaudita incompetenza agli insegnamenti/suggerimenti che gli vengono rivolti
L’intellettualoide sa cucinare
L’intellettualoide aggiusta cose
L’intellettualoide è leader nelle attività che lo interessano
L’intellettualoide confonde “attestati di frequenza” con “lauree”
L’intellettualoide confonde Wikipedia con l’Università La Sapienza di Roma
L’intellettualoide confonde i laureati con i contadini
L’intellettualoide entra in fase competitiva se nel branco esiste un terzo membro avente i suoi stessi interessi
Se una cosa non è fatta come insegna l’intellettualoide allora non è fatta bene
L’intellettualoide fa le cose da Dio
L’intellettualoide ha esperienza in ogni campo
Il bisogno primario di un intellettualoide è insegnare agli altri cosa sa fare
L’intellettualoide ha sempre qualcosa in più di te
L’intellettualoide ha sempre la soluzione giusta
Gli errori degli intellettualoidi sono sottigliezze
Se l’intellettualoide sbaglia, sbaglia di poco!
Gli intellettualoidi hanno sempre buone idee
L’intellettualoide ha da ridire anche quando stai replicando fedelmente una cosa insegnata da lui
L’intellettualoide sa fare qualsiasi cosa meglio degli altri
L’intellettualoide ti prende in giro se non sai fare qualcosa
L’intellettualoide disprezza tutto e tutti
L’intellettualoide ha il permesso di offendere chiunque
L’intellettualoide non può perdere tempo con gli incompetenti
Molti intellettualoidi si circondano di adepti, ignoranti e segugi, da sguinzagliare in caso di necessità
L’adepto dell’intellettualoide è più ignorante dell’intellettualoide stesso
L’intellettualoide disprezza i suoi adepti
L’intellettualoide si auto-fomenta
L’intellettualoide si arricchisce di vocaboli che non sa padroneggiare
L’intellettualoide è dolce quando ti guarda dall’alto
L’intellettualoide ti dà consigli su cose per cui non hai chiesto consigli
L’intellettualoide avrebbe certamente scritto quest’articolo meglio del sottoscritto

E tu che intellettualoide sei?

Scale e Complottismi Sismici

22 agosto 2017 / NaumSalis / 1 Commento

Alla luce degli ultimi eventi, è evidente che in molti si sono lasciati sopraffare dalla superficialità complottistica di stampo sismico. Non ultimo quello di accusare lo Stato di nascondere i reali parametri matematici legati alle scale di misurazione dei terremoti per non dover sperperare altro denaro pubblico che altrimenti non potrebbe finire nelle tasche dei nostri bene amati politici. Avrei io stesso molto da dire contro la falsa burocrazia di cui si nutre il nostro Paese ma almeno su questo fronte non ho che da spezzare una lancia a favore della buona fede del Governo. A tal scopo, le varie agenzie del controllo geologico condividono continuamente le loro misurazioni circa gli eventi sismici che si attivano sull’intero pianeta per cui è impossibile che lo Stato filtri e censuri informazioni accessibili a tutti in maniera indipendente.

Le due scale maggiormente utilizzate per dare un’idea della forza di un terremoto sono la Mercalli e la Richter: la Mercalli si concentra sulla classificazioni dei danni a strutture e alle persone; la Richter sull’energia misurata da strumenti scientifici (es. sismografi). È evidente che la Mercalli è fuori luogo oramai poiché le nuove tecnologie antisismiche potrebbero non rispecchiare la vera entità di un terremoto: basti pensare all’enorme dislivello che la scala potrebbe misurare di due terremoti con egual energia in due posti distinti (come Giappone e Italia). La Richter si prefigge lo scopo di entrare in maniera più intima a contatto col fenomeno, quasi a rendersi il più oggettiva possibile. Essa si costruisce considerando il logaritmo in base 10 del picco numerico maggiore misurato dagli strumenti a disposizione. In questo modo, se l’energia di un terremoto è indicata con T allora il valore della scala Richter è

$R(T)=\log_{10}(T)$

Quel che spesso accade è l’associazione di piccole differenze della scala a piccole entità di terremoti. Consideriamo quindi due valori di scala

$R_1=\log_{10}(T_1)$

$R_2=\log_{10}(T_2)$

per cui $R_2=R_1+\Delta$ e vediamo quanto questo si ripercuote sulle energie registrate

$T_2=10^{R_2}=10^{R_1+\Delta}=10^\Delta\cdot 10^{R_1}=10^\Delta T_1$

In questo modo si ha

$\frac{T_2}{T_1}=10^\Delta$

ossia il rapporto delle energie sprigionate è proporzionale a 10 elevato alla differenza delle scale misurate. Ad esempio un terremoto di scala Richter 5 è 100 volte più intenso di uno di intensità 3. In un certo senso questo spezza una seconda lancia al discorso che abbiamo affrontato in precedenza poiché sovrastimare un terremoto significa il doversi aspettare danni molto più superiori (ma di gran lunga) a quelli reali.

Spero che questo piccolo articolo possa esserti stato utile

Pensa un numero…

13 febbraio 20178 marzo 2017 / NaumSalis / 1 Commento

Scommetto che questo è un gioco che vi hanno fatto e rifatto e, puntualmente, quando volete riproporlo a qualcuno non ve ne ricordate nemmeno uno, sbaglio!?
Ora vediamo come costruire la nostra personalissima versione di questo gioco.

ANZITUTTO, scegliete un numero (ad esempio il 5) che costituirà il risultato finale del vostro gioco e indichiamo con $x$ il numero che il vostro concorrente penserà. Ah, un avviso: spesso quando chiederete di pensare un numero, il concorrente automaticamente ve lo ripeterà ad alta voce (senza alcun motivo!). Reiterate finché capirà che deve solo pensarlo!

Quello che dobbiamo creare è una sequenza di operazioni $F$ dipendenti dalla $x$ per cui

$F(x)=5$

qualsiasi sia $x$ . Questo matematicamente implica che qualsiasi numero pensato dovrà necessariamente essere prima o poi annullato. Ad esempio è corretto dire

“pensa un numero, aggiungi 5, togli 2, togli il numero pensato, aggiungi 2”
$x+5-2-x+2=5$

Il gioco consiste quindi del bilanciare la $x$ affinché non compari più nella sequenza. Vediamo ad esempio quel che riguarda la moltiplicazione

“pensa un numero, moltiplica per due, aggiungi 10, dividi per due”
$\frac{2x+10}{2}=5$

Prendete carta e penna e iniziate quindi a costruire operazioni su operazioni che man mano andrete a bilanciare affinché otteniate sempre il numero da voi scelto (nel nostro caso 5). Finiamo con un esempio un po’ più complicato. Le parentesi indicano la priorità delle operazioni

“pensa un numero, aggiungi 5, moltiplica per 3, togli 1, togli il numero che hai pensato, dividi per due e togli due, togli il numero che hai pensato. Ti viene 5?”
$\frac{3(x+5)-1-x}{2}-2-x=5$

BUON DIVERTIMENTO!

La Matematica non è una Scienza

11 febbraio 201711 febbraio 2017 / NaumSalis / Lascia un commento

Esattamente. E perché mai? Non vorrete sostenere il fatto per cui la Matematica sia la scienza dei numeri spero? Ne abbiamo le tasche piene di questo tipo di confronto e sinceramente non voglio affrontare la questione su cosa sia la Matematica. Ma perché non dovrebbe essere una scienza? Semplice: perché non abbiamo regole da seguire!

Se è vero che la Matematica vive di regole, è altrettanto vero che essa vive di arbitrarietà che paradossalmente ne smentisce la natura. Facciamo un esempio semplice: alle elementari abbiamo imparato che $2+5=7$ perché le regole lo impongono. E chi le ha decise? E chi ci obbliga a stravolgere il tutto? Nessuno, dunque è lecito stabilire che $2+5$ possa fare $14$ . Per cui d’ora in avanti applicheremo questa nuova regola: $2+5=14$ , il che equivale a dire che $0=7$ . Cosa succede ai numeri con questa nuova regola? Di seguito elenco i primi 15 naturali con i relativi numeri “trasformati”

$0\to0$
$1\to1$
$2\to2$
$3\to3$
$4\to4$
$5\to5$
$6\to6$
$7\to0$
$8\to1$
$9\to2$
$10\to3$
$11\to4$
$12\to5$
$13\to6$
$14\to0$
$15\to1$

In sostanza tutti i numeri vengono ridotti nella forma 0,1,2,3,4,5 e 6. Per stabilire, dato un qualsiasi $n$ , quale sia il suo corrispondente in questo nuovo sistema basta semplicemente dividere per 7 e prenderne il resto. Ad esempio $234=33\cdot 7+3$ per cui $234\to 3$ . Cambiando le regole non arriviamo necessariamente ad una contraddizione ma spesso e volentieri creiamo nuovi schemi, aventi nuove regole, completamente diversi dai precedenti con peculiarità che li rendono unici e meravigliosi. Questo nuovo schema è chiamato classe resto modulo 7. Vi invito a vedere cosa succede ponendo $0=2$ . Ma questo cosa c’entra col titolo dell’articolo?

In Fisica, in Chimica, in Biologia, Psicologia, Neurologia, ecc. abbiamo uno schema di regole immodificabile con cui confrontare il nostro lavoro: la Natura! Nessun fisico potrebbe mai dire “vabbè gli oggetti sono accelerati da una legge cubica” poiché il suo lavoro perderebbe qualsiasi significato (descrivere razionalmente con l’aiuto della Matematica la Natura stessa), cosa che avviene in Chimica e nelle altre Scienze. Difatti il famoso Metodo Scientifico ha tra le sue clausole il riscontro concreto delle teorie ipotizzate. In Matematica, se qualcosa va scomodo, possiamo sempre spostarci su un nuovo schema ed eliminare il sasso dalla scarpa. Bhé ovviamente non è molto funzionale per certi versi, ma la bellezza che essa stessa cela rientra anche in questo: l’assoluta arbitrarietà di inventare ognuno il proprio schema personale! Ma questa non è Scienza, è Matematica!

Absurdum Mirabilis

5 febbraio 20176 febbraio 2017 / NaumSalis / Lascia un commento

La matematica, si sà, si basa sul fondamento della Dimostrazione: ogni singolo passaggio deduttivo deve essere logicamente giustificato. Esistono diverse tecniche dimostrative: costruttiva, diretta, indiretta, induttiva o ridotta ad un assurdo. Quest’ultima è molto in voga tra i matematici poiché consente di affermare una tesi facendo semplicemente notare che assumendone l’opposto all’interno di una teoria questa diventa contraddittoria. Sarebbe come dire, per farla semplice: per dimostrare che le case si possono costruire non è necessario averne costruito una ma è sufficiente considerare il fatto secondo cui se non potessimo costruirne allora non potremmo nemmeno mettere un mattone sull’altro (e dimostrare che è possibile mettere un mattone sull’altro è nettamente più semplice di costruire una casa!).

Accade spesso che ci si riconduca ad una dimostrazione per assurdo ma che in effetti questa assurdità non c’è. Facciamo un esempio:

Teorema. $\forall a,b \in \mathbb{R} \, \exists ! \, x \in \mathbb{R}$ tale che $a=b+x$
Dimostrazione.
Esistenza: $x:=a-b$
Unicità: per assurdo esistono $x,y\in\mathbb{R}$ con $x\neq y$ tali che $a=b+x$ e $a=b+y$ . Allora $b+x=b+y$ ovvero $x=y$ , cioè l’assurdo poiché avevamo supposto che fossero diversi
CVD

Vediamo per bene cosa è successo: indichiamo con $\Gamma$ l’insieme di tutti gli assiomi e dei teoremi che riguardano i numeri reali e sia $\alpha$ il teorema appena dimostrato. Il teorema vuole farci vedere che $\Gamma \vdash \alpha$ , ovvero che da $\Gamma$ è possibile ricavare, e quindi dimostrare, l’asserto. Il nostro ragionamento ci ha portato a fare questo

$\Gamma \cup \{\neg \alpha\}\vdash\alpha \leftrightarrow \Gamma\vdash\alpha$

(Formula 1) ovvero abbiamo supposto che $\alpha$ fosse falso nella teoria $\Gamma$ (supponendo $x\neq y$ che soddisfacessero la stessa proprietà) aggiungendolo come tale e da questo abbiamo ricavato l’esatto opposto, cioè $\alpha$ stesso (ovvero che $x=y$ ).

Il tipo di ragionamento non è di per sé errato ma guardiamo con attenzione la Formula 1:

Se assumiamo che $\Gamma\vdash\alpha$ allora dall’insieme $\Gamma\cup\{\neg \alpha\}$ comunque possiamo ricavare $\alpha$ poiché, appunto, è ricavabile dalla sola $\Gamma$ quindi $\Gamma\vdash\alpha \rightarrow \Gamma \cup \{\neg \alpha\}\vdash\alpha$
Se assumiamo invece che $\alpha$ è ricavabile da $\Gamma \cup \{\neg \alpha\}$ allora risulta evidente che questa non deriva dall’insieme $\{\neg \alpha\}$ ma necessariamente da $\Gamma$ per cui $\Gamma \cup \{\neg \alpha\}\vdash\alpha \rightarrow \Gamma\vdash\alpha$

In pratica il modo di ricavare $\alpha$ da $\Gamma$ è lo stesso utilizzato nel ricavarlo da $\Gamma\cup\{\neg \alpha\}$ poiché $\{\neg\alpha\}$ non è in alcuna maniera influente nella dimostrazione. Ma la seconda è il fondamento di una dimostrazione per assurdo, la quale appunto si dimostra essere una dimostrazione diretta perdendo la sua identità “ad absurdum”.

Questo inganno particolare, in effetti, fu una delle prime inferenze ad essere scoperta. La sua “paradossalità” la rendeva unica e formidabile allo stesso tempo e per questo fu chiamata Consequentia Mirabilis

$(\neg \alpha \to \alpha)\to \alpha$

Se dal non primo segue il primo
allora il primo

La prima registrazione storica risale al Teeteto di Platone in cui l’autore commentava: “se tutto fosse relativo allora questa frase sarebbe un assoluto, ma essendo che questa si autoconfuta allora è vero il contrario, per cui esiste qualcosa di assoluto”

Degli esempi più semplici ne abbiamo a bizzeffe: nella Metafisica di Aristotele (IV,1012b e XI,1063b) l’autore utilizza questa inferenza per confutare il fatto che non tutto è falso:

Se tutto fosse falso, allora anche questa frase sarebbe falsa
per cui vale il contrario ovvero non tutto è falso

Esempi matematici li troviamo in Euclide (Elementi, Libro IX, Proposizione 12) quando afferma che se un primo $p$ divide una potenza $a^n$ allora p divide a, infatti se p non dividesse a allora $p\mid a^n=a\cdot a^{n-1}$ per cui $p\mid a^{n-1}$ . Per la stessa ragione allora $p\mid a^{n-2}$ e così via finché si ha che $p\mid a$

Con questo articolo abbiamo visto un aspetto interessante di come alcuni “falsi assurdi” sono in realtà tecniche dimostrative dalle conseguenze mirabili!

Scuola Superflua

2 settembre 20155 settembre 2015 / NaumSalis / 1 Commento

Vorrei argomentare una questione che mi sta molto a cuore: la Scuola Italiana nei suoi programmi ministeriali. Ovviamente parlerò maggiormente dell’insegnamento della Matematica. Diamo un’occhiata al programma ministeriale del Liceo Scientifico: WIKIPEDIA
Sono assolutamente d’accordo col fatto che un liceo scientifico debba preparare gli studenti a degli indirizzi, appunto, scientifici e con un’ampia base matematica… ecco: BASE. Se prendiamo un qualsiasi programma di Analisi I di qualsivoglia università Italiana avremo modo di osservare che la seconda parte del programma (dedicata prevalentemente allo studio dei limiti, delle derivate e dell’integrazione) è praticamente identica al programma scolastico di quinta e, parzialmente, di quarta delle superiori. A tal punto mi sovviene una domanda: in un liceo statale ha senso far studiare argomenti che interessano solo coloro che hanno intenzione di proseguire gli studi, nonostante gli stessi vengano ripresi completamente da capo nelle aule universitarie? Mi è capitato, non di rado, di assistere a “squilibri di conoscenze” nelle aule dell’università, in cui ci sono persone a braccia conserte (annoiate poiché conoscono già) e persone sull’orlo di una crisi poiché non avevano affrontato tali argomenti nelle scuole. Inoltre può capitare che il professore universitario dia per scontato certe conoscenze da parte degli studenti mettendo ancora di più in difficoltà chi, queste conoscenze, non le ha.

Guardando, viceversa, chi sceglie di non continuare gli studi, mi sono sempre chiesto perché mai uno studente debba saper calcolare l’integrale di $x^2-e^x$ o saperne il grafico. Io sono il primo a dire che la matematica serve a ragionare e a rafforzare la struttura logica dello studente… ma non così! Se domandassimo ad un qualsiasi ex-studente cosa rappresenta la derivata di una funzione, avremmo un bel 70% di “Boh! Non ricordo! So solo che al posto della x devi scrivere...”. Questo non significa che la colpa è degli insegnanti ma del punto di vista con cui si insegna. La matematica gode di una proprietà, che io chiamerei sequenziale: la probabilità di capire un argomento è direttamente proporzionale a quanto si è capito quello precedente.

Ovviamente se uno studente non capisce a pieno i primi argomenti, arriverà ai successivi con maggiore difficoltà, e sapendo che gli argomenti previsti dal Ministero sono moltissimi, non mi stupisce che in tanti abbiano problemi a digerirli. La quantità degli argomenti, inoltre, grava sulla qualità delle lezioni: le scadenze premono sugli insegnanti che spesso sono costretti ad accelerare e, inevitabilmente, a lasciare indietro chi non ce la fa a tenere il passo. Questa fretta e furia genera il meccanicismo a cui molti ricorrono pur di non socombere: dimentica a cosa serve, impara come si svolge e supera il compito

Tutto questo crea divisione, avversione e odio verso le materie, in particolar modo quelle sequenziali come appunto la matematica e la fisica, dislivella le conoscenze di base degli alunni e, cosa ancor più grave, insegna una cultura nozionistica.

Oggettivamente esiste una matematica di base che io definirei Funzionale (da non confondere con l’Analisi Funzionale) utile a tutto e a tutti, che inizia con i sistemi di numerazione e termina con le equazioni/disequazioni di primo grado passando per la geometria euclidea.

L’aggettivo funzionale sta ad indicare il fatto che chiunque, in determinate circostanze, può ricorrervi senza difficoltà e risolvere le questioni connesse. Molta gente vede le equazioni come un mero esercizio da risolvere, mentre un paio di pinze costituiscono uno strumento utile in caso di necessità. Ma razionalmente parlando, entrambe svolgono la stessa identica funzione: risolvere un problema. Non sarebbe quindi meglio per tutti insegnare una matematica sana, logicista, applicativa, semplice ma efficace, lontana dai meccanicismi di cui oggi è cosparsa, lasciando libere le volontà di approfondimento individuali, senza costringere i ragazzi a studiare argomenti noiosi, poco funzionali, scoraggianti e soprattutto altamente soggetti all’oblio del tempo?

Durante il mio percorso universitario, ho trovato illuminanti i corsi di Logica e di Storia della Matematica per motivi semplici: la prima mi ha guidato verso la vera essenza del ragionamento logico; la seconda ha letteralmente dato una storia e una identità a quei segni astratti e rigidi sulla lavagna. Non bisogna mai dimenticare che dietro i teoremi, le x e le espressioni ci sono state persone nella storia, mosse da necessità o semplice curiosità, che con le loro idee hanno contribuito allo sviluppo socio-eco-tecnologico del mondo! Senza gli studi sul calore di Fourier, non avremmo la telecomunicazione (e dunque internet o gli smartphone); senza gli studi sulla geometria descrittiva di Monge, non ci sarebbe AutoCAD (estremamente necessario agli ingegneri in fase di progettazione); senza gli studi di Eulero (teoria dei grafi e studio delle soluzioni dell’equazione delle onde) non avremmo le metropolitane…

Dare un volto, uno scopo e una identità alle tematiche scolastiche renderebbe meno sterile l’apprendimento e soprattutto aumenterebbe la comprensione sull’importanza di studiare matematica. La logica stimola come nessun altro la curiosità, il ragionare su come sviscerare i problemi e ridurli alla loro essenza, trovare soluzioni non banali tramite semplici regole di inferenza.

Questa è matematica: storia, logica, essenza, applicazione. Dopotutto, come diceva Galileo nel Saggiatore

La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l’universo, ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.

Dubbi dal SuperMercato

1 settembre 20141 settembre 2014 / NaumSalis / Lascia un commento

“Perchè due bottiglie d’acqua da mezzo litro costano più di una da un litro?”

Una domanda piuttosto comune tra la gente che entra in un supermarket. Tentiamo ora di rispondere!

Consideriamo per comodità le bottiglie di forma cilindrica, aventi tutti la stessa base. Naturalmente le bottigliette d’acqua hanno un prezzo dipendente sia dal volume d’acqua, sia dalla superficie di plastica utilizzata, per cui

$P=\lambda V+\mu S$

dove $\lambda$ è il prezzo dell’acqua al litro, $V$ il volume dell’acqua, $\mu$ il prezzo al metro quadro della plastica e $S$ la superficie di plastica della bottiglia. Chiamiamo ora con $h$ l’altezza della bottiglia e con $r$ il raggio della base. Allora, come ci hanno insegnato a scuola, il volume e la superficie di un cilindro con $r=1$ sono dati da

$S=2\pi+2\pi h \quad;\quad V=\pi h$

Essendo uguale la base, da ipotesi, l’altezza della bottiglia da mezzo litro sarà la meta di quella da litro ( $h/2$ ). Il prezzo di una bottiglia da un litro è dunque

$P_1=\lambda+\mu(2\pi+2\pi h)$

Il prezzo di 2 bottigliette da mezzo litro invece

$2 P_{1/2}=\lambda+\mu(4\pi+2\pi h)$

Facendo dunque la sottrazione segue

$2 P_{1/2}-P_1=2\mu\pi$

e non 0 come ci saremmo aspettati. Ovvero dimezzando il volume dell’acqua si dimezza solo il volume della bottiglietta. La superficie viene ridotta di circa il 30% e non il 50%, per cui lo scarto di prezzo che si ha tra i due prodotti è dovuto quasi esclusivamente a quella plastica in eccesso che non si è dimezzata.

Questo errore comune lo si riscontra anche nelle antiche epoche: nel Menone di Platone vi è uno degli esempi più semplici ed evidenti. In sostanza, Socrate fa chiamare da Menone uno schiavo per verificare le sue tesi filosofiche. Al giovane veene posto un quadrato ABCD come quello qui in basso

e Socrate gli chiese di costruire un quadrato con area doppia di quello. Lo schiavo ne costruì uno con lato doppio. Identifichiamo l’area con il numero di metà triangolari contenute nel quadrato. Il quadrato singolo ha 2 triangoli. Un quadrato di lato doppio ne avrà ben 8 (provare per credere!) che di certo non è il doppio di 2. Socrate gli fece notare questo particolare e lo guidò a costruirne uno sulla diagonale. Guardando la figura qui sopra si nota che effettivamente è un quadrato e che è composto da 4 triangolini, proprio il doppio dell’area del quadrato. Ma il lato di questo nuovo quadrato non è di certo il doppio del lato iniziale. Ecco che se raddoppiamo l’area non raddoppiano i lati e viceversa.

Vi è anche un’antica storia narrata in una lettera da Eratostene al re Tolomeo III:

Nell’isola greca di Delo vi era un tempio contenente un altare in pietra perfettamente cubico. Scoppiò una violenta epidemia di peste che decimò la popolazione. In molti andarono all’oracolo per avere risposte dal dio Apollo su come liberarsi di tale male: la risposta fu quella di costruire un altare in pietra cubico avente volume doppio rispetto quello giacente tempio. I mastri si misero dunque a lavoro, costruendone uno con lato doppio (cadendo nel trabocchetto). La peste non cessò!

Il problema della duplicazione tramite riga e compasso di figure geometriche come il quadrato o il cubo, è stato completamente risolto solo nel XIX secolo da Carl F. Gauss, matematico tedesco considerato uno dei padri della matematica, nella sua Disquisitiones Arithmeticae, che pose le basi di tutta la teoria aritmetica moderna.