Pensa un numero…

Scommetto che questo è un gioco che vi hanno fatto e rifatto e, puntualmente, quando volete riproporlo a qualcuno non ve ne ricordate nemmeno uno, sbaglio!?
Ora vediamo come costruire la nostra personalissima versione di questo gioco.

ANZITUTTO, scegliete un numero (ad esempio il 5) che costituirà il risultato finale del vostro gioco e indichiamo con x il numero che il vostro concorrente penserà. Ah, un avviso: spesso quando chiederete di pensare un numero, il concorrente automaticamente ve lo ripeterà ad alta voce (senza alcun motivo!). Reiterate finché capirà che deve solo pensarlo!

Quello che dobbiamo creare è una sequenza di operazioni F dipendenti dalla x per cui

F(x)=5

qualsiasi sia x. Questo matematicamente implica che qualsiasi numero pensato dovrà necessariamente essere prima o poi annullato. Ad esempio è corretto dire

“pensa un numero, aggiungi 5, togli 2, togli il numero pensato, aggiungi 2”
x+5-2-x+2=5

Il gioco consiste quindi del bilanciare la x affinché non compari più nella sequenza. Vediamo ad esempio quel che riguarda la moltiplicazione

“pensa un numero, moltiplica per due, aggiungi 10, dividi per due”
\frac{2x+10}{2}=5

Prendete carta e penna e iniziate quindi a costruire operazioni su operazioni che man mano andrete a bilanciare affinché otteniate sempre il numero da voi scelto (nel nostro caso 5). Finiamo con un esempio un po’ più complicato. Le parentesi indicano la priorità delle operazioni

“pensa un numero, aggiungi 5, moltiplica per 3, togli 1, togli il numero che hai pensato, dividi per due e togli due, togli il numero che hai pensato. Ti viene 5?”
\frac{3(x+5)-1-x}{2}-2-x=5

BUON DIVERTIMENTO!

La Matematica non è una Scienza

Esattamente. E perché mai? Non vorrete sostenere il fatto per cui la Matematica sia la scienza dei numeri spero? Ne abbiamo le tasche piene di questo tipo di confronto e sinceramente non voglio affrontare la questione su cosa sia la Matematica. Ma perché non dovrebbe essere una scienza? Semplice: perché non abbiamo regole da seguire!

Se è vero che la Matematica vive di regole, è altrettanto vero che essa vive di arbitrarietà che paradossalmente ne smentisce la natura. Facciamo un esempio semplice: alle elementari abbiamo imparato che 2+5=7 perché le regole lo impongono. E chi le ha decise? E chi ci obbliga a stravolgere il tutto? Nessuno, dunque è lecito stabilire che 2+5 possa fare 14. Per cui d’ora in avanti applicheremo questa nuova regola: 2+5=14, il che equivale a dire che 0=7. Cosa succede ai numeri con questa nuova regola? Di seguito elenco i primi 15 naturali con i relativi numeri “trasformati”

0\to0
1\to1
2\to2
3\to3
4\to4
5\to5
6\to6
7\to0
8\to1
9\to2
10\to3
11\to4
12\to5
13\to6
14\to0
15\to1

 In sostanza tutti i numeri vengono ridotti nella forma 0,1,2,3,4,5 e 6. Per stabilire, dato un qualsiasi n, quale sia il suo corrispondente in questo nuovo sistema basta semplicemente dividere per 7 e prenderne il resto. Ad esempio 234=33\cdot 7+3 per cui 234\to 3. Cambiando le regole non arriviamo necessariamente ad una contraddizione ma spesso e volentieri creiamo nuovi schemi, aventi nuove regole, completamente diversi dai precedenti con peculiarità che li rendono unici e meravigliosi. Questo nuovo schema è chiamato classe resto modulo 7. Vi invito a vedere cosa succede ponendo 0=2. Ma questo cosa c’entra col titolo dell’articolo?

In Fisica, in Chimica, in Biologia, Psicologia, Neurologia, ecc. abbiamo uno schema di regole immodificabile con cui confrontare il nostro lavoro: la Natura! Nessun fisico potrebbe mai dire “vabbè gli oggetti sono accelerati da una legge cubica” poiché il suo lavoro perderebbe qualsiasi significato (descrivere razionalmente con l’aiuto della Matematica la Natura stessa), cosa che avviene in Chimica e nelle altre Scienze. Difatti il famoso Metodo Scientifico ha tra le sue clausole il riscontro concreto delle teorie ipotizzate. In Matematica, se qualcosa va scomodo, possiamo sempre spostarci su un nuovo schema ed eliminare il sasso dalla scarpa. Bhé ovviamente non è molto funzionale per certi versi, ma la bellezza che essa stessa cela rientra anche in questo: l’assoluta arbitrarietà di inventare ognuno il proprio schema personale! Ma questa non è Scienza, è Matematica!

Absurdum Mirabilis

 

La matematica, si sà, si basa sul fondamento della Dimostrazione: ogni singolo passaggio deduttivo deve essere logicamente giustificato. Esistono diverse tecniche dimostrative: costruttiva, diretta, indiretta, induttiva o ridotta ad un assurdo. Quest’ultima è molto in voga tra i matematici poiché consente di affermare una tesi facendo semplicemente notare che assumendone l’opposto all’interno di una teoria questa diventa contraddittoria. Sarebbe come dire, per farla semplice: per dimostrare che le case si possono costruire non è necessario averne costruito una ma è sufficiente considerare il fatto secondo cui se non potessimo costruirne allora non potremmo nemmeno mettere un mattone sull’altro (e dimostrare che è possibile mettere un mattone sull’altro è nettamente più semplice di costruire una casa!).

Accade spesso che ci si riconduca ad una dimostrazione per assurdo ma che in effetti questa assurdità non c’è. Facciamo un esempio:

Teorema. \forall a,b \in \mathbb{R} \, \exists ! \, x \in \mathbb{R} tale che a=b+x
Dimostrazione.
Esistenza: x:=a-b
Unicità: per assurdo esistono x,y\in\mathbb{R} con x\neq y tali che a=b+x e a=b+y. Allora b+x=b+y ovvero x=y, cioè l’assurdo poiché avevamo supposto che fossero diversi
CVD

Vediamo per bene cosa è successo: indichiamo con \Gamma l’insieme di tutti gli assiomi e dei teoremi che riguardano i numeri reali e sia \alpha il teorema appena dimostrato. Il teorema vuole farci vedere che \Gamma \vdash \alpha, ovvero che da \Gamma è possibile ricavare, e quindi dimostrare, l’asserto. Il nostro ragionamento ci ha portato a fare questo

\Gamma \cup \{\neg \alpha\}\vdash\alpha \leftrightarrow \Gamma\vdash\alpha

(Formula 1) ovvero abbiamo supposto che \alpha fosse falso nella teoria \Gamma (supponendo x\neq y che soddisfacessero la stessa proprietà) aggiungendolo come tale e da questo abbiamo ricavato l’esatto opposto, cioè \alpha stesso (ovvero che x=y).

Il tipo di ragionamento non è di per sé errato ma guardiamo con attenzione la Formula 1:

  • Se assumiamo che \Gamma\vdash\alpha allora dall’insieme \Gamma\cup\{\neg \alpha\} comunque possiamo ricavare \alpha poiché, appunto, è ricavabile dalla sola \Gamma quindi \Gamma\vdash\alpha \rightarrow \Gamma \cup \{\neg \alpha\}\vdash\alpha
  • Se assumiamo invece che \alpha è ricavabile da \Gamma \cup \{\neg \alpha\} allora risulta evidente che questa non deriva dall’insieme \{\neg \alpha\} ma necessariamente da \Gamma per cui \Gamma \cup \{\neg \alpha\}\vdash\alpha \rightarrow \Gamma\vdash\alpha

In pratica il modo di ricavare \alpha da \Gamma è lo stesso utilizzato nel ricavarlo da \Gamma\cup\{\neg \alpha\} poiché \{\neg\alpha\} non è in alcuna maniera influente nella dimostrazione. Ma la seconda è il fondamento di una dimostrazione per assurdo, la quale appunto si dimostra essere una dimostrazione diretta perdendo la sua identità “ad absurdum”.

Questo inganno particolare, in effetti, fu una delle prime inferenze ad essere scoperta. La sua “paradossalità” la rendeva unica e formidabile allo stesso tempo e per questo fu chiamata Consequentia Mirabilis

(\neg \alpha \to \alpha)\to \alpha

Se dal non primo segue il primo
allora il primo

La prima registrazione storica risale al Teeteto di Platone in cui l’autore commentava: “se tutto fosse relativo allora questa frase sarebbe un assoluto, ma essendo che questa si autoconfuta allora è vero il contrario, per cui esiste qualcosa di assoluto”

Degli esempi più semplici ne abbiamo a bizzeffe: nella Metafisica di Aristotele (IV,1012b e XI,1063b) l’autore utilizza questa inferenza per confutare il fatto che non tutto è falso:

Se tutto fosse falso, allora anche questa frase sarebbe falsa
per cui vale il contrario ovvero non tutto è falso

Esempi matematici li troviamo in Euclide (Elementi, Libro IX, Proposizione 12) quando afferma che se un primo p divide una potenza a^n allora p divide a, infatti se p non dividesse a allora p\mid a^n=a\cdot a^{n-1} per cui p\mid a^{n-1}. Per la stessa ragione allora p\mid a^{n-2} e così via finché si ha che p\mid a

Con questo articolo abbiamo visto un aspetto interessante di come alcuni “falsi assurdi” sono in realtà tecniche dimostrative dalle conseguenze mirabili!

Scuola Superflua

Vorrei argomentare una questione che mi sta molto a cuore: la Scuola Italiana nei suoi programmi ministeriali. Ovviamente parlerò maggiormente dell’insegnamento della Matematica. Diamo un’occhiata al programma ministeriale del Liceo Scientifico: WIKIPEDIA
Sono assolutamente d’accordo col fatto che un liceo scientifico debba preparare gli studenti a degli indirizzi, appunto, scientifici e con un’ampia base matematica… ecco: BASE. Se prendiamo un qualsiasi programma di Analisi I di qualsivoglia università Italiana avremo modo di osservare che la seconda parte del programma (dedicata prevalentemente allo studio dei limiti, delle derivate e dell’integrazione) è praticamente identica al programma scolastico di quinta e, parzialmente, di quarta delle superiori. A tal punto mi sovviene una domanda: in un liceo statale ha senso far studiare argomenti che interessano solo coloro che hanno intenzione di proseguire gli studi, nonostante gli stessi vengano ripresi completamente da capo nelle aule universitarie? Mi è capitato, non di rado, di assistere a “squilibri di conoscenze” nelle aule dell’università, in cui ci sono persone a braccia conserte (annoiate poiché conoscono già) e persone sull’orlo di una crisi poiché non avevano affrontato tali argomenti nelle scuole. Inoltre può capitare che il professore universitario dia per scontato certe conoscenze da parte degli studenti mettendo ancora di più in difficoltà chi, queste conoscenze, non le ha.

Guardando, viceversa, chi sceglie di non continuare gli studi, mi sono sempre chiesto perché mai uno studente debba saper calcolare l’integrale di x^2-e^x o saperne il grafico. Io sono il primo a dire che la matematica serve a ragionare e a rafforzare la struttura logica dello studente… ma non così! Se domandassimo ad un qualsiasi ex-studente cosa rappresenta la derivata di una funzione, avremmo un bel 70% di “Boh! Non ricordo! So solo che al posto della x devi scrivere...”. Questo non significa che la colpa è degli insegnanti ma del punto di vista con cui si insegna. La matematica gode di una proprietà, che io chiamerei sequenzialela probabilità di capire un argomento è direttamente proporzionale a quanto si è capito quello precedente. 

Ovviamente se uno studente non capisce a pieno i primi argomenti, arriverà ai successivi con maggiore difficoltà, e sapendo che gli argomenti previsti dal Ministero sono moltissimi, non mi stupisce che in tanti abbiano problemi a digerirli. La quantità degli argomenti, inoltre, grava sulla qualità delle lezioni: le scadenze premono sugli insegnanti che spesso sono costretti ad accelerare e, inevitabilmente, a lasciare indietro chi non ce la fa a tenere il passo. Questa fretta e furia genera il meccanicismo a cui molti ricorrono pur di non socombere: dimentica a cosa serve, impara come si svolge e supera il compito

Tutto questo crea divisione, avversione e odio verso le materie, in particolar modo quelle sequenziali come appunto la matematica e la fisica, dislivella le conoscenze di base degli alunni e, cosa ancor più grave, insegna una cultura nozionistica.

Oggettivamente esiste una matematica di base che io definirei Funzionale (da non confondere con l’Analisi Funzionale) utile a tutto e a tutti, che inizia con i sistemi di numerazione e termina con le equazioni/disequazioni di primo grado passando per la geometria euclidea.

L’aggettivo funzionale sta ad indicare il fatto che chiunque, in determinate circostanze, può ricorrervi senza difficoltà e risolvere le questioni connesse. Molta gente vede le equazioni come un mero esercizio da risolvere, mentre un paio di pinze costituiscono uno strumento utile in caso di necessità. Ma razionalmente parlando, entrambe svolgono la stessa identica funzione: risolvere un problema. Non sarebbe quindi meglio per tutti insegnare una matematica sana, logicista, applicativa, semplice ma efficace, lontana dai meccanicismi di cui oggi è cosparsa, lasciando libere le volontà di approfondimento individuali, senza costringere i ragazzi a studiare argomenti noiosi, poco funzionali, scoraggianti e soprattutto altamente soggetti all’oblio del tempo?

Durante il mio percorso universitario, ho trovato illuminanti i corsi di Logica e di Storia della Matematica per motivi semplici: la prima mi ha guidato verso la vera essenza del ragionamento logico; la seconda ha letteralmente dato una storia e una identità a quei segni astratti e rigidi sulla lavagna. Non bisogna mai dimenticare che dietro i teoremi, le x e le espressioni ci sono state persone nella storia, mosse da necessità o semplice curiosità, che con le loro idee hanno contribuito allo sviluppo socio-eco-tecnologico del mondo! Senza gli studi sul calore di Fourier, non avremmo la telecomunicazione (e dunque internet o gli smartphone); senza gli studi sulla geometria descrittiva di Monge, non ci sarebbe AutoCAD (estremamente necessario agli ingegneri in fase di progettazione); senza gli studi di Eulero (teoria dei grafi e studio delle soluzioni dell’equazione delle onde) non avremmo le metropolitane…

Dare un volto, uno scopo e una identità alle tematiche scolastiche renderebbe meno sterile l’apprendimento e soprattutto aumenterebbe la comprensione sull’importanza di studiare matematica. La logica stimola come nessun altro la curiosità, il ragionare su come sviscerare i problemi e ridurli alla loro essenza, trovare soluzioni non banali tramite semplici regole di inferenza.

Questa è matematica: storia, logica, essenza, applicazione. Dopotutto, come diceva Galileo nel Saggiatore

La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l’universo, ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.

Dubbi dal SuperMercato

“Perchè due bottiglie d’acqua da mezzo litro costano più di una da un litro?”

bottiglie_plastica

Una domanda piuttosto comune tra la gente che entra in un supermarket. Tentiamo ora di rispondere!

Consideriamo per comodità le bottiglie di forma cilindrica, aventi tutti la stessa base. Naturalmente le bottigliette d’acqua hanno un prezzo dipendente sia dal volume d’acqua, sia dalla superficie di plastica utilizzata, per cui

P=\lambda V+\mu S

dove \lambda è il prezzo dell’acqua al litro, V il volume dell’acqua, \mu il prezzo al metro quadro della plastica e S la superficie di plastica della bottiglia. Chiamiamo ora con h l’altezza della bottiglia e con r il raggio della base. Allora, come ci hanno insegnato a scuola, il volume e la superficie di un cilindro con r=1 sono dati da

S=2\pi+2\pi h \quad;\quad V=\pi h

Essendo uguale la base, da ipotesi, l’altezza della bottiglia da mezzo litro sarà la meta di quella da litro (h/2). Il prezzo di una bottiglia da un litro è dunque

P_1=\lambda+\mu(2\pi+2\pi h)

Il prezzo di 2 bottigliette da mezzo litro invece

2 P_{1/2}=\lambda+\mu(4\pi+2\pi h)

Facendo dunque la sottrazione segue

2 P_{1/2}-P_1=2\mu\pi

e non 0 come ci saremmo aspettati. Ovvero dimezzando il volume dell’acqua si dimezza solo il volume della bottiglietta. La superficie viene ridotta di circa il 30% e non il 50%, per cui lo scarto di prezzo che si ha tra i due prodotti è dovuto quasi esclusivamente a quella plastica in eccesso che non si è dimezzata. 

Questo errore comune lo si riscontra anche nelle antiche epoche: nel Menone di Platone vi è uno degli esempi più semplici ed evidenti. In sostanza, Socrate fa chiamare da Menone uno schiavo per verificare le sue tesi filosofiche. Al giovane veene posto un quadrato ABCD come quello qui in basso

IMAGE24e Socrate gli chiese di costruire un quadrato con area doppia di quello. Lo schiavo ne costruì uno con lato doppio. Identifichiamo l’area con il numero di metà triangolari contenute nel quadrato. Il quadrato singolo ha 2 triangoli. Un quadrato di lato doppio ne avrà ben 8 (provare per credere!) che di certo non è il doppio di 2. Socrate gli fece notare questo particolare e lo guidò a costruirne uno sulla diagonale. Guardando la figura qui sopra si nota che effettivamente è un quadrato e che è composto da 4 triangolini, proprio il doppio dell’area del quadrato. Ma il lato di questo nuovo quadrato non è di certo il doppio del lato iniziale. Ecco che se raddoppiamo l’area non raddoppiano i lati e viceversa. 

Vi è anche un’antica storia narrata in una lettera da Eratostene al re Tolomeo III:

Nell’isola greca di Delo vi era un tempio contenente un altare in pietra perfettamente cubico. Scoppiò una violenta epidemia di peste che decimò la popolazione. In molti andarono all’oracolo per avere risposte dal dio Apollo su come liberarsi di tale male: la risposta fu quella di costruire un altare in pietra cubico avente volume doppio rispetto quello giacente tempio. I mastri si misero dunque a lavoro, costruendone uno con lato doppio (cadendo nel trabocchetto). La peste non cessò!

Il problema della duplicazione tramite riga e compasso di figure geometriche come il quadrato o il cubo, è stato completamente risolto solo nel XIX secolo da Carl F. Gauss, matematico tedesco considerato uno dei padri della matematica, nella sua Disquisitiones Arithmeticae, che pose le basi di tutta la teoria aritmetica moderna.